天津市第四十二中学 张鼎言

    由A、B在C2上：

    -

    (1)-(2)：k(y1+y2-2m)=2p (B)

    分析两式要求m、p，需要两个等量关系，而k，x1+x2，y1+y2都需要用m，p去表示。

    c2的焦点F(-，m)在LAB上，有k=-=-，

    真正的难点是x1+x2=?

    本题一个显著的几何条件是：

    LAB既过c1的焦点F2又过c2的焦点F，且焦点弦为|AB|，这是全题的突破点.由椭圆第二定义，抛物线定义，有如下的等量关系：

    |AB|=|AF2|+|BF2|=e(--x1)+e(--x2)=4--(x1+x2)

    |AB|=|AF|+|BF|=x1-(--)+x2-(--)=x1+x2+p

    ∴x1+x2=-(4-p)

    由(B)y1+y2=-+2m，由LAB y=k(x-1)

    y1+y2=k(x1+x2-2)，

    y1+y2=-

    以上两式消去y1+y2，

    m2=-

    再由(A)式：3(p-2)2·（4-p)+16m2(1-p)=0

    把m2代入上式，注意到p≠2，

    3p2+20p-32=0

    p=-，p=-8(舍去)

    m2=-，m=±■

    5. 如图，F为双曲线C：---=1(a>0，b>0)的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|。

    (Ⅰ)写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；

    (Ⅱ)当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程。

    解：(Ⅰ)由已知|OF|=|PM|=c，

    点P到右准线的距离为：

    |PM|-2·■=c-2·■，

    由双曲线的第二定义，|PF|=e(c-2·■)

    再由已知

    |PF|=λ|OF|=λc=e(c-2·■)

    →e2-λe-2=0

    (Ⅱ)λ=1→e2-λe-2=0，e=2，c=2a，c2=4a2

    双曲线方程简化为---=1

    下边是如何求出a

    由λ=1，|PF|=|OF|，平行四边形OFPM是菱形，

    |OP|与|MF|垂直平分，令交点为Q(xQ，yQ)，

    LOP y=kx

    LMF y=--(x-2a)

    两直线交点 xQ=-，

    yQ=-

    由此p(xp，yp)坐标可求出，xp=-，yp=-，

    点p在双曲线上，把p点坐标代入双曲线方程：

    3k4+22k2-45=0，k2=-，k=-

    过点F，且平行于OP的直线方程为：y=-(x-2a)

    该直线与双曲线C交于A、B两点用常规做法联立，由根与系数关系可求出x1+x2=-5a，这样可求出x1·x2，再用两点间距离公式|AB|=12，问题能解决.如果用焦点弦可把用双曲线的知识进一步加深。

    |AB|=|FB|-|FA|=e[(--x2)-(x1--)]=2(a+5a)=12，a=1

    ∴c的方程x2--=1

    注：从第1题至第5题，当出现直线与圆锥曲线相交时，先分析一下直线是否过圆锥曲线焦点.对于双曲线特别引起注意，充分运用图形给我们很好的启发，同学们可以从理论上进一步思考！ 城市快报